Title: Learning Task 1
Course: Problemlösen im Mathematikunterricht lehren lernen > Section: Learning Task 1 - Erwartungshorizont

Warum eigent sich insbesondere das Treppenzahlproblem als Unterrichtsgegenstand zum Problemlösen?

Warum Problemlösen mit Treppenzahlen?

Das Problemlösen mit Treppenzahlen eignet sich hervorragend als offene Problemlöseaufgabe, da es den Schülerinnen und Schülern die Möglichkeit bietet, eigenständig mathematische Zusammenhänge zu erkunden und Lösungsstrategien über einen längeren Zeitraum zu entwickeln. Diese vertiefte Auseinandersetzung stärkt ihre Problemlösefähigkeit und ermutigt sie, eigenverantwortlich Lösungswege zu entwickeln. Das Problem erfordert nicht zwingend sofortige Begründungen für die gefundenen Lösungsansätze, sondern legt den Fokus vor allem auf das Explorieren und Entwickeln eigener Problemlösestrategien. So erleben die Schülerinnen und Schüler Mathematik als kreativen und offenen Prozess, in dem es nicht immer nur um das Finden der einen richtigen Antwort geht, sondern um das schrittweise Annähern an eine Lösung.

Ein zentrales Ziel dieser Aufgabe ist es, dass die Lernenden verschiedene heuristische Ansätze anwenden, wie das systematische Aufschreiben von Beispielen und das Formulieren sowie Überprüfen von Vermutungen. Diese Strategien sind grundlegende Werkzeuge des mathematischen Problemlösens. Indem die Schülerinnen und Schüler eigene Beispiele durchdenken und aufschreiben, entwickeln sie ein Gefühl für mögliche Muster und Strukturen. Dies regt sie dazu an, Hypothesen zu formulieren, die sie anschließend an weiteren Beispielen testen können. Dabei handelt es sich um einen iterativen Prozess, der nicht nur das mathematische Verständnis fördert, sondern auch das logische Denken und die Fähigkeit, systematisch zu arbeiten.

Durch das Reflektieren ihrer eigenen Bearbeitungsschritte beim Problemlösen lernen die Schülerinnen und Schüler, sich bewusst mit ihrem eigenen Vorgehen auseinanderzusetzen. Sie erkennen, welche Schritte zielführend waren, welche Herausforderungen sie überwinden mussten und wie sie ihre Strategie anpassen können. Diese Selbstreflexion ist ein zentraler Bestandteil des Problemlösens und fördert die metakognitive Kompetenz der Lernenden.

Quelle: Handreichung der Mathewerkstatt: Zahlen unter der Lupe – Zahlen zerlegen und erforschen (2013)

Aufgabe 1

Warum ist das Treppenzahlenproblem ein gutes Beispiel für einen kreativen und offenen Prozess in Mathematikunterricht?

- Weil das Treppenzahlproblem keine Kreativität erfordert und immer eine eindeutige Lösung bietet.
Feedback: Das ist falsch.
- Weil es den Schülerinnen und Schülern ermöglicht, verschiedene heuristische Strategien anzuwenden und ein Gefühl für mathematische Strukturen zu entwickeln.
Feedback: Richtig!
- Weil es den Schülerinnen und Schülern beibringt, mathematische Probleme ausschließlich mit vorgegebenen Formeln zu lösen.
Feedback: Das ist falsch.
- Weil es besonders schwierig ist und deshalb für mathematisch begabten Schülerinnen und Schülern eine Herausforderung bietet.
Feedback: Das ist falsch.
- Weil die Schülerinnen und Schüler einen Schritt für Schritt Plan zum Lösen von Problemlöseaufgaben erlernen.
Feedback: Das ist falsch.

Aufgabe 2

Stellen Sie sich nun vor, Sie planen eine Unterrichtstunde zum Problemlösen mit Treppenzahlen.

- An welchem Punkt wären Sie mit der Lösung Ihrer Schülerinnen und Schüler zufrieden?
- Wie sieht eine angemessene Lösung des Treppenzahlproblems in der 4. Klasse aus?

Gehen Sie auch explizit auf den formalen mathematischen Satz ein, der dieser Problematik zugrunde liegt.

Erwartungshorizont

Der Erwartungshorizont für das Treppenzahlenproblem umfasst verschiedene mögliche Entdeckungen, die den Lernenden je nach ihren individuellen Fähigkeiten offenstehen. Diese Entdeckungen variieren in ihrer Komplexität, sodass die unterschiedlichen Schülerinnen und Schüler auf ihrem eigenen Niveau Erkenntnisse gewinnen können.

Ungerade Zahlen und Treppen mit zwei Stufen: Eine grundlegende Entdeckung ist, dass ungerade Zahlen immer in eine Treppe mit zwei Stufen zerlegt werden können. Jede ungerade Zahl kann somit als Summe zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen dargestellt werden. Zum Beispiel lässt sich die Zahl 9 als 4+5 oder die Zahl 15 als 7+8 schreiben. Diese Beobachtung ist ein erster Schritt, der das Verständnis für das Muster hinter den Treppenzahlen schärft.

Durch drei teilbare Zahlen: Lernende können außerdem entdecken, dass Zahlen, die durch drei teilbar sind, sich als Treppe mit drei Stufen zerlegen lassen. So ist es beispielsweise bei der Zahl 21 möglich 7 + 7 + 7 = 6 + 7 + 8 zu schreiben.

Zahlen mit einer ungeraden Anzahl an Teilern: Hier werden die Stufen analog zu den Zahlen der „ungeraden Zahlen“ oder den „durch drei teilbaren Zahlen“ gebildet. So lässt sich die 25 einerseits in Form einer Zweiertreppe mit 12 + 13 oder durch die Zerlegung in 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 als Fünfertreppe darstellen. Dies führt zu einer vertieften Auseinandersetzung mit den arithmetischen Eigenschaften von Zahlen und zeigt, dass das Beachten der Teiler eine Schlüsselrolle bei der Bildung von Treppen spielt.

Treppen mit vier Stufen oder mehr: Manche Zahlen wie 10 lassen sich nicht in zwei oder drei Stufen zerlegen. In solchen Fällen könnten die Schülerinnen und Schüler entdecken, dass sie vier Stufen bilden können, zum Beispiel 1 + 2 + 3 + 4 für die Zahl 10. Diese Erkenntnis erweitert das Problemlöse-Repertoire der Lernenden und zeigt, dass die Anzahl der Stufen flexibel ist und sich an die Struktur der jeweiligen Zahl anpassen lässt.

Zweierpotenzen und der Satz von Sylvester: Eine besonders fortgeschrittene Entdeckung, betrifft Zahlen, die sich in Zweierpotenzen zerlegen lassen (Zahlen der Form 2n). Hier wird festgestellt, dass eine additive Zerlegung in Treppenform für diese Zahlen nicht möglich ist. Diese Entdeckung verweist auf den Satz von Sylvester.

Insgesamt stellt der Erwartungshorizont sicher, dass die Schülerinnen und Schüler auf verschiedenen Niveaus sinnvolle mathematische Entdeckungen machen können. Vom Erkennen einfacher Muster bis hin zur Auseinandersetzung mit komplexeren mathematischen Sätzen fördert das Treppenzahlenproblem das eigenständige Erkunden und Problemlösen.

Aufgabe Erwartungshorizont

Wie könntenn Schüler:innen Lösungen entsprechen der genannten 4 Kategorien aussehen?

Mögliche Lösung

Eine mögliche Lösung könnte sein:

Ungerade Zahlen und Treppen mit zwei Stufen: 5 = 2 + 3 oder 7 = 3 + 4

Durch drei teilbare Zahlen: 9 = 3 + 3 + 3 daraus entsteht die Treppe 9 = 2 + 3 + 4

Zahlen mit einer ungeraden Anzahl an Teilern:  15 = 7 + 8 aber gleichzeitig 15 = 5 + 5 + 5 weshalb die Treppe 15 = 4 + 5 + 6 möglich ist

Treppen mit vier Stufen oder mehr: 2 + 3 + 4 + 5 = 14

Satz von Sylvester

Satz von Sylvester

Der Satz von Sylvester besagt, dass eine Zahl auf genauso viele Weisen als Summeaufeinanderfolgender natürlicher Zahlen dargestellt werden kann, wie sie ungerade Teiler (größer als 1) besitzt. Dies liefert eine präzise mathematische Erklärung dafür, wann und warum sich bestimmte Zahlen in Treppenform zerlegen lassen oder nicht. Um diesen Satz am Beispiel der Treppenzahlen besser zu verstehen, ist es hilfreich, ihn an verschiedenen Zahlen zu illustrieren.

Anwendung des Satzes von Sylvester:

Beispiel 1: Die Zahl 15

Zuerst betrachten wir die Zahl 15. Die Zahl 15 besitzt die Teiler (1; 3; 5; und 15). Davon erfüllen die Teiler 3, 5 und 15 die Voraussetzungen: ungerade und größer als 1.

Der Satz von Sylvester sagt uns nun, dass es genau drei Möglichkeiten gibt, 15 als Summe von aufeinanderfolgenden Zahlen (in Treppenform) darzustellen, weil 15 drei ungerade Teiler größer als 1 besitzt.

1. Zerlegung in 2 Stufen (Teiler 15):

15 = 7 + 8

2. Zerlegung mit drei Stufen (Teiler 3):

15 = 4 + 5 + 6

2. Zerlegung mit fünf Stufen (Teiler 5):

15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

Das bestätigt, dass die Zahl 15 tatsächlich genau drei Möglichkeiten hat, sich in Treppenform zerlegen zu lassen, entsprechend ihren ungeraden Teilern 3, 5 und 15.

Beispiel 2: Die Zahl 8

Nun betrachten wir die Zahl 8. Die Zahl 8 besitzt 4 Teiler (1; 2; 4 und 8). Keiner dieser Teiler erfüllt die Voraussetzungen von ist ungerade und gleichzeitig größer als 1. Nach dem Satz von Sylvester gibt es also keine Möglichkeit, 8 als Summe aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen zu zerlegen, da 8 keine ungeraden Teiler größer als 1 besitzt.

Wir können dies überprüfen, indem wir die Zerlegungen von 8 untersuchen:

- Zwei Stufen: 8 = 4 + 4 ist keine gültige Treppe, da die Zahlen gleich sind.
- Drei Stufen: Ein Versuch führt zu 8 = x + (x + 1) + (x + 2), was keine ganze Lösung für x ergibt.
- Vier Stufen: kleinstmögliche Treppe mit 4 Stufen: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 Ein Versuch mit vier Stufen scheitert somit ebenfalls.

Es gibt also keine gültige Zerlegung von 8, was der Aussage des Satzes von Sylvester entspricht.

Allgemeine Erkenntnis:

- Wenn eine Zahl ungerade Teiler größer als 1 hat, gibt es für jeden dieser Teiler eine Möglichkeit, die Zahl in Treppenform zu zerlegen.
- Wenn eine Zahl keine ungeraden Teiler größer als 1 hat (wie es bei Potenzen von 2 der Fall ist, z.B. 2, 4, 8, 16), dann gibt es keine Möglichkeit, sie in Treppenform zu zerlegen.

Zusammenfassung:

Der Satz von Sylvester beschreibt eine direkte Verbindung zwischen der Anzahl der ungeraden Teiler einer Zahl (größer als 1) und der Anzahl der Möglichkeiten, wie diese Zahl als Summe aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen dargestellt werden kann. Zahlen mit ungeraden Teilern größer als 1 haben entsprechend viele Zerlegungen in Treppenform, während Zahlen ohne solche Teiler, wie die Potenzen von 2, keine Zerlegung in Treppenform besitzen.

Quelle: https://adi.dzlm.de/figurierte-zahlen/satz-von-sylvester

Satz von Sylvester

Formulieren Sie ein Beispiel dem Satz von Sylvester entsprechend und ein Gegenbeispiel.

Mögliche Lösung zum Satz von Sylvester

Eine mögliche Lösung könnte sein:

Beispiel 1: Die Zahl 9

Die Zahl 9 besitzt die Teiler (1; 3 und 9). Davon erfüllen die Teiler 3 und 9 die Voraussetzungen: ungerade und größer als 1.

Der Satz von Sylvester sagt uns nun, dass es in diesem Fall genau zwei Möglichkeiten gibt, 9 als Summe von aufeinanderfolgenden Zahlen (in Treppenform) darzustellen, weil 9 zwei ungerade Teiler größer als 1 besitzt.

1. Zerlegung in 2 Stufen:

9 = 4 + 5

2. Zerlegung mit drei Stufen:

9 = 2 + 3 + 4

Die Zahl 9 hat also genau zwei Möglichkeiten, sich in Treppenform zerlegen zu lassen, entsprechend ihren ungeraden Teilern 3 und 9.

Beispiel 2: Die Zahl 4

Die Zahl 4 besitzt 3 Teiler (1; 2 und 4). Keiner dieser Teiler erfüllt die Voraussetzungen von ist ungerade und gleichzeitig größer als 1. Nach dem Satz von Sylvester gibt es also keine Möglichkeit, 4 als Summe aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen zu zerlegen, da 4 keine ungeraden Teiler größer als 1 besitzt.

Wir können dies überprüfen, indem wir die Zerlegungen von 4 untersuchen:

- Zwei Stufen: 4 = 2 + 2 ist keine gültige Treppe, da die Zahlen gleich sind.
- Drei Stufen: Ein Versuch führt zu 4 = x + (x + 1), was keine ganze Lösung für x ergibt.
- kleinstmögliche Treppe: 1 + 2 = 3; nächst größere Treppe: 2 + 3 = 5

Es gibt also keine gültige Zerlegung von 4, was der Aussage des Satzes von Sylvester entspricht.

Aufgabe 1

Stellen Sie sich nun vor, Sie planen eine Unterrichtstunde zum Problemlösen mit Treppenzahlen.

- An welchem Punkt wären Sie mit der Lösung Ihrer Schülerinnen und Schüler zufrieden?
- Wie sieht eine angemessene Lösung des Treppenzahlproblems in der Sekundarstufe 1 aus?

Gehen Sie auch explizit auf den formalen mathematischen Satz ein, der dieser Problematik zugrunde liegt.

Mögliche Lösung

In einer Unterrichtsstunde zum Problemlösen mit den Treppenzahlen sollen Schülerinnen und Schüler entdecken, welche Zahlen sich als Summe aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen darstellen lassen. Dabei steht nicht nur das Finden der richtigen Lösungen im Vordergrund, sondern vor allem das mathematische Denken, Argumentieren und das Erkennen von Zusammenhängen.

Zufriedenheit mit den Schülerlösungen ergibt sich nicht nur durch die richtige Anzahl oder Form der Treppendarstellungen, sondern vor allem dadurch, dass die Lernenden:

- durch Ausprobieren eigene Beispiele entwickeln, die Beispiel strukturieren und daraus Vermutungen ableiten können, sowie das eigene Vermutungen geprüft werden
- systematisch Zusammenhänge zwischen Zahlen und ihren Teilermerkmalen untersuchen,
- und schließlich erste Begründungen formulieren, warum bestimmte Zahlen mehrere Treppendarstellungen haben, andere hingegen keine.

Eine angemessene Lösung in der Sekundarstufe I umfasst zunächst die Darstellung konkreter Zahlenbeispiele. So können etwa die Zerlegungen der Zahl 15 als 7 + 8, 4 + 5 + 6 oder 1 + 2 + 3 + 4 + 5 erarbeitet werden. Die Schülerinnen und Schüler erkennen daran, dass sich manche Zahlen auf unterschiedliche Weise in Treppenzahlen zerlegen lassen, und beginnen, Gemeinsamkeiten zu entdecken. Idealerweise erkennen sie, dass die Anzahl dieser Darstellungen mit den ungeraden Teilern größer als 1 zusammenhängt.

Diesen Zusammenhang beschreibt der Satz von Sylvester, der – in für die Sekundarstufe I geeigneter Form – wie folgt formuliert werden kann:

Eine natürliche Zahl lässt sich genau so oft als Summe aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen darstellen, wie sie ungerade Teiler größer als 1 besitzt.

Dieser Zusammenhang kann im Unterricht aus Beispielen heraus entdeckt und gemeinsam formalisiert werden. Wichtig ist dabei, dass die Schülerinnen und Schüler lernen, nicht nur Ergebnisse zu präsentieren, sondern diese auch mit eigenen Worten zu erklären und zu begründen.

Insgesamt bietet das Thema „Treppenzahlen“ eine hervorragende Gelegenheit, zentrale mathematische Kompetenzen wie Argumentieren, Strukturieren und Verallgemeinern im Kontext eines innermathematischen Problems zu fördern.